Question

【题目】如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1 ， 过点E作EE1⊥l于点E1 ．
（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB；
（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系．（不需要证明）

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形CADF、CBEG是正方形，

∴AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，

∴∠DAD1+∠CAB=90°，

∵DD1⊥AB，

∴∠DD1A=∠ABC=90°，

∴∠DAD1+∠ADD1=90°，

∴∠ADD1=∠CAB，

在△ADD1和△CAB中，

，

∴△ADD1≌△CAB（AAS），

∴DD1=AB

（2）解：AB=DD1+EE1．

证明：过点C作CH⊥AB于H，

∵DD1⊥AB，

∴∠DD1A=∠CHA=90°，

∴∠DAD1+∠ADD1=90°，

∵四边形CADF是正方形，

∴AD=CA，∠DAC=90°，

∴∠DAD1+∠CAH=90°，

∴∠ADD1=∠CAH，

在△ADD1和△CAH中，

，

∴△ADD1≌△CAH（AAS），

∴DD1=AH；

同理：EE1=BH，

∴AB=AH+BH=DD1+EE1；

（3）解：AB=DD1﹣EE1．

证明：过点C作CH⊥AB于H，

∵DD1⊥AB，

∴∠DD1A=∠CHA=90°，

∴∠DAD1+∠ADD1=90°，

∵四边形CADF是正方形，

∴AD=CA，∠DAC=90°，

∴∠DAD1+∠CAH=90°，

∴∠ADD1=∠CAH，

在△ADD1和△CAH中，

，

∴△ADD1≌△CAH（AAS），

∴DD1=AH；

同理：EE1=BH，

∴AB=AH﹣BH=DD1﹣EE1

【解析】（1）由四边形CADF、CBEG是正方形，可得AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，又由同角的余角相等，求得∠ADD1=∠CAB，然后利用AAS证得△ADD1≌△CAB，根据全等三角形的对应边相等，即可得DD1=AB；（2）首先过点C作CH⊥AB于H，由DD1⊥AB，可得∠DD1A=∠CHA=90°，由四边形CADF是正方形，可得AD=CA，又由同角的余角相等，求得∠ADD1=∠CAH，然后利用AAS证得△ADD1≌△CAH，根据全等三角形的对应边相等，即可得DD1=AH，同理EE1=BH，则可得AB=DD1+EE1 ． （3）证明方法同（2），易得AB=DD1﹣EE1 ．