题目内容
【题目】如图,O为直线AB上一点,过点O作射线OC,∠AOC=30°,将一直角三角板 (∠M=30°)的直角顶点放在点O处,一边ON在射线OA上,另一边OM与OC都在直线AB的上方,将如图中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周。
(1)几秒后ON与OC重合?
(2)如图,经过t秒后,MN∥AB,求此时t的值。
(3)若三角板在转动的同时,射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周,那么经过多长时间OC与OM重合?请画图并说明理由。
(4)在(3)的条件下,求经过多长时间OC平分∠MOB?请画图并说明理由。
【答案】(1)10秒后ON与OC重合;(2)经过t=20秒后,MN∥AB;(3)t=20秒,见解析;(4)t=秒,见解析.
【解析】
(1)用角的度数除以转动速度即可得;
(2)根据MN∥AB,可得∠BOM=∠M=30,进而可知旋转的度数,结合旋转速度可得时间t;
(3)根据OC与OM重合得∠BOC=∠BOM,结合旋转速度可得∠AON=3t,∠AOC=30+6t,根据邻补角的定义列式计算求出t的值即可;
(4)根据转动速度关系和OC平分∠MOB画图即可.
解: (1)∵30÷3=10,
∴10秒后ON与OC重合;
(2) ∵MN∥AB
∴∠BOM=∠M=30°
∵∠AON +∠BOM=90°,
∴∠AON=60°,
∴t=60÷3=20
∴经过20秒后,MN∥AB;
(3)如图:
∵∠AON+∠BOM=90,∠BOC=∠BOM,
∵三角板绕点O以每秒3°的速度,
射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转,
设∠AON=3t,∠AOC=30°+6t,
∵OC与OM重合
∵∠AOC+∠BOC=180°
可得:(30°+6t)+(90°3t)=180°
解得:t=20秒 ;
(4)如图:
∵∠AON+∠BOM=90°,∠BOC=∠COM,
∵三角板绕点O以每秒3°的速度,
射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转,
设∠AON=3t,∠AOC=30°+6t,
∴∠BOC=∠COM=(90°3t),
∵∠BOM+∠AON=90°,
可得:180°(30°+6t)=(90°3t),
解得:t=秒.
故答案为:(1)10秒后ON与OC重合;(2)经过t=20秒后,MN∥AB;(3)t=20秒,见解析;(4)t=秒,见解析.