Question

已知四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，如果四边形EFGH是正方形，那么四边形ABCD满足的条件是

AC⊥BD且AC=BD

．

Answer 1

分析：所添加的条件为AC⊥BD且AC=BD，由四边形ABCD的各边中点分别为E、F、G、H，利用三角形的中位线定理得到EF平行于AC，且等于AC的一半，HG平行于AC，且等于AC的一半，可得出EF与HG平行且相等，得到四边形EFGH为平行四边形，由EH为三角形ABD的中位线，得到EH等于BD的一半，而AC=BD，可得出EH=EF，利用邻边相等的平行四边形为菱形可得出四边形EFGH为菱形，而AC与BD垂直，再根据两组对边平行的四边形为平行四边形得到四边形EQOP为矩形，利用矩形的性质得到∠HEF为直角，利用有一个角为直角的菱形为正方形即可得证．

解答：解：四边形ABCD满足的条件是AC⊥BD且AC=BD，理由为：
证明：∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，
∴EF为△ABC的中位线，HG为△ADC的中位线，
∴EF∥AC，EF=

1

2

AC，HG∥AC，HG=

1

2

AC，
∴EF∥HG，且EF=HG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
同理EH∥BD，EH=

1

2

BD，
∴EH=EF，
∴四边形EFGH为菱形，
∵EF∥AC，EH∥BD，
∴四边形QOPE为平行四边形，
∵AC⊥BD，∴∠QOP=90°，
∴四边形QOPE为矩形，
∴∠HEF=90°，
则四边形EFGH为正方形．
故答案为：AC⊥BD且AC=BD

点评：此题考查了中点四边形，涉及的知识有：平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定与性质，以及三角形中位线定理，熟练掌握中位线定理是解本题的关键．