Question

如下图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴上.

   （1）求的值及这个二次函数的关系式；

（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：(1) ∵ 点A(3,4)在直线y=x+m上，

∴ 4=3+m.                              

∴ m=1.                               

        设所求二次函数的关系式为y=a(x-1)².     

        ∵ 点A(3,4)在二次函数y=a(x-1)²的图象上，

        ∴ 4=a(3-1)²,

        ∴ a=1.       

∴ 所求二次函数的关系式为y=(x-1)².

   即y=x²-2x+1.                  

(2) 设P、E两点的纵坐标分别为y_P和y_E .

∴ PE=h=y_P-y_E                      

       =(x+1)-(x²-2x+1) 

       =-x²+3x.                 

   即h=-x²+3x (0＜x＜3).              

(3) 存在.                         

解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC.

∵ 点D在直线y=x+1上,

∴ 点D的坐标为(1,2),

∴ -x²+3x=2 .

即x²-3x+2=0 .                       

解之，得  x₁=2，x₂=1 (不合题意，舍去)   

∴ 当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形.  

解法2：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有BP∥CE. 

设直线CE的函数关系式为y=x+b.

∵ 直线CE 经过点C(1,0),

∴ 0=1+b,

∴ b=-1 .

∴ 直线CE的函数关系式为y=x-1 .

∴    得x²-3x+2=0.      

解之，得  x₁=2，x₂=1 (不合题意，舍去)  

∴ 当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形.