Question

已知关于x的方程有两个相等的实数根,试证明以a、b、c为三边的三角形是直角三角形。

Answer 1

a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0去括号，整理为一般形式为：（c-a）x²+2bx+a+c=0，
∵关于x的一元二次方程a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0有两个相等的实数根。
∴△=0，即△=△=（2b）²-4（c-a）（a+c）=4（b²+c²-a²）=0，
∴b²+c²-a²=0，即b²+c²=a²．
∴以a、b、c为三边的三角形是直角三角形。

分析：先把方程变为一般式：（c-a）x²+2bx+a+c=0，由方程有两个相等的实数根，得到△=0，即△=（2b）²-4（c-a）（a+c）=4（b²+c²-a²）=0，则有b²+c²-a²=0，即b²+c²=a²，根据勾股定理的逆定理可以证明以a、b、c为三边的三角形是直角三角形。
解答：
证明：∵a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0
去括号，整理为一般形式为：（c-a）x²+2bx+a+c=0，
∵关于x的一元二次方程a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0有两个相等的实数根。
∴△=0，即△=△=（2b）²-4（c-a）（a+c）=4（b²+c²-a²）=0，
∴b²+c²-a²=0，即b²+c²=a²。
∴以a、b、c为三边的三角形是直角三角形。
点评：本题考查了一元二次方程的根的判别式和勾股定理的逆定理等知识。当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根。