题目内容
△ABC是边长为4的等边三角形，在射线AB和BC上分别有动点P、Q，且AP=CQ，连接PQ交直线AC于点D，作PE⊥AC，垂足为E．（1）如图，当点P在边AB（与点A、B不重合）上，问：
①线段PD与线段DQ之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．
②随着点P、Q的移动，线段DE的长能否确定？若能，求出DE的长；若不能，简要说明理由；
（2）当点P在射线AB上，若设AP=x，CD=y，求：
①y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
②当x为何值时，△PCQ的面积与△ABC的面积相等．
分析：（1）①作PG∥BC交AC于G，DH∥AB交BQ于H，推出△DHC，△APG为等边三角形根据三角形全等，求出DP=DQ；②根据AE=EG，GD=DC，即可算出DE=
AC；
（2）分为两种情况来考虑，当P点在线段AB上或在射线AB上，根据等边三角形的性质和全等三角形的性质找到相等关系，经过等量转换即可求出答案；
（3）分两种情况进行分析，当0＜x≤4时，无解；当x＞4时，结合图形找相等面积的三角形，求出PE的长度，用含x的代数式表示出△PCQ的面积，即可根据题意得出关于x的一元二次方程，解方程，得x的值．
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（2）分为两种情况来考虑，当P点在线段AB上或在射线AB上，根据等边三角形的性质和全等三角形的性质找到相等关系，经过等量转换即可求出答案；
（3）分两种情况进行分析，当0＜x≤4时，无解；当x＞4时，结合图形找相等面积的三角形，求出PE的长度，用含x的代数式表示出△PCQ的面积，即可根据题意得出关于x的一元二次方程，解方程，得x的值．
解答：解：（1）证明：①作PG∥BC交AC于G，DH∥AB交BQ于H，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，
∴△DHC，△APG为等边三角形，
∵AP=CQ，
∴PG=CQ，∠PGC=∠DCQ=120°，
∵∠GPD=∠Q，
∵△PDG≌△QDC，
∴DP=DQ，
②能确定，
∵PE⊥AC，
∴AE=EG，
∵GD=DC，AB=BC=AC=4，
∴GD+EG+AE+DC=4，
∵2（GD+EG）=4，
即DE=2；
（2）①∵PD=DQ，DH∥AB，AP=x，CD=y，
∴DH=
BP，
∵AB=4，
∴BP=4-x或BP=x-4，
∴y=
（4-x）=2-
x（0＜x≤4）或y=
x-2（x＞4），
②当0＜x≤4时，无解，
当x＞4时，
∵PE⊥AC，∠A=60°AP=x，
∴PE=sin60°×x=
x，
∵AB=BC=AC=4，
∴S△ABC=4
，
∵PD=DQ，
∴结合图形可知S△PCQ=2S△PDC=2×
，
∴2×
=4
，
∴（
x-2）×
x=4
，
化简得：x2-4x-16=0，
解得：x1=2-2
（不符合题意，舍去） x2=2+2
，
∴x=2+2
，
∴当x=2+2
时，△PCQ的面积与△ABC的面积相等．
∵△ABC是边长为4的等边三角形，
∴△DHC，△APG为等边三角形，
∵AP=CQ，
∴PG=CQ，∠PGC=∠DCQ=120°，
∵∠GPD=∠Q，
∵△PDG≌△QDC，
∴DP=DQ，
②能确定，
∵PE⊥AC，
∴AE=EG，
∵GD=DC，AB=BC=AC=4，
∴GD+EG+AE+DC=4，
∵2（GD+EG）=4，
即DE=2；
（2）①∵PD=DQ，DH∥AB，AP=x，CD=y，
∴DH=
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∵AB=4，
∴BP=4-x或BP=x-4，
∴y=
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②当0＜x≤4时，无解，
当x＞4时，
∵PE⊥AC，∠A=60°AP=x，
∴PE=sin60°×x=
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∵AB=BC=AC=4，
∴S△ABC=4
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∵PD=DQ，
∴结合图形可知S△PCQ=2S△PDC=2×
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∴2×
| y•PE |
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∴（
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化简得：x2-4x-16=0，
解得：x1=2-2
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∴x=2+2
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∴当x=2+2
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点评：本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、根据实际问题列一次函数关系式等，本题关键在于作出辅助线，找出等量关系
练习册系列答案
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如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（ ）| A、4cm2 | ||
B、2
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C、3
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D、4
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y轴的正半轴相交于点E，点B（-1，0），P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合）
如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于M交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为（ ）
