题目内容
【题目】已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O于点E．
（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；
（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．
①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；
②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）
【答案】（1）AE=CE；（2）①
；②
．
【解析】试题（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；
（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得
=ADAF．①当CF=CD时，可得
，从而有EC=AE=
CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED=
，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题．
试题解析：（1）AE=CE．理由：
连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，∴AE=CE；
（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴
，∴
=ADAF．
①当CF=CD时，AD=DC=CF，AF=3DC，∴
=DC3DC=
，∴AE=
DC，∵EC=AE，∴EC=
DC，∴sin∠CAB=sin∠CED=
=
=
；
②当CF=aCD（a＞0）时，sin∠CAB=
．
∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴
=DC（a+2）DC=（a+2）
，∴AE=
DC，∵EC=AE，∴EC=
DC，∴sin∠CAB=sin∠CED=
=
．
