题目内容
【题目】如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，AH⊥BC于点H．动点E从点B出发，沿线段BC向点C以每秒2个单位长度的速度运动．过点E作EF⊥AB，垂足为点F．点E出发后，以EF为边向上作等边三角形EFG，设点E的运动时间为t秒，△EFG和△AHC的重合部分面积为S．
（1）CE= （含t的代数式表示）．
（2）求点G落在线段AC上时t的值．
（3）当S＞0时，求S与t之间的函数关系式．
（4）点P在点E出发的同时从点A出发沿A-H-A以每秒2
个单位长度的速度作往复运动，当点E停止运动时，点P随之停止运动，直接写出点P在△EFG内部时t的取值范围．
【答案】（1）6-2t；（2）t=2；（3）当
＜t≤2时，S=
t2+
t-3；当2＜t≤3时，S=-
t2+
t-
；（4）＜t＜
．
【解析】
试题分析: （1）由菱形的性质得出BC=AB=6得出CE=BC-BE=6-2t即可；
（2）由菱形的性质和已知条件得出△ABC是等边三角形，得出∠ACB=60°，由等边三角形的性质和三角函数得出∠GEF=60°，GE=EF=BEsin60°=
t，证出∠GEC=90°，由三角函数求出CE=
=t，由BE+CE=BC得出方程，解方程即可；
（3）分两种情况：①当
＜t≤2时，S=△EFG的面积-△NFN的面积，即可得出结果；
②当2＜t≤3时，由①的结果容易得出结论；
（4）由题意得出t=时，点P与H重合，E与H重合，得出点P在△EFG内部时，t的不等式，解不等式即可．
试题解析：（1）根据题意得：BE=2t，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=6，
∴CE=BC-BE=6-2t；
（2）点G落在线段AC上时，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵△EFG是等边三角形，
∴∠GEF=60°，GE=EF=BEsin60°=t，
∵EF⊥AB，
∴∠BEF=90°-60°=30°，
∴∠GEB=90°，
∴∠GEC=90°，
∴CE=
=t，
∵BE+CE=BC，
∴2t+t=6，
解得：t=2；
（3）分两种情况：①当＜t≤2时，如图2所示：
S=△EFG的面积-△NFN的面积=
×
×（t）2-××（-
+2）2=t2+t-3，
即S=t2+t-3；
当2＜t≤3时，如图3所示：
S=t2+t-3-
（3t-6）2，
即S=-t2+t-；
（4）∵AH=ABsin60°=6×=3，3÷2=，3÷2=，
∴t=时，点P与H重合，E与H重合，
∴点P在△EFG内部时，-＜（t-）×2＜t-（2t-3）+（2t-3），
解得：＜t＜；
即点P在△EFG内部时t的取值范围为：＜t＜．
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