Question

已知：关于x的一元二次方程ax²＋2ax＋c＝0的两个实数根之差的平方为m．

(1)试分别判断当a＝1，c＝－3与a＝2，c＝时，m≥4是否成立，并说明理由；

(2)若对于任意一个非零的实数a，m≥4总成立，求实数c及m的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)当a＝1，c＝－3时，m≥4成立；当a＝2，c＝时，m≥4不成立 　　当a＝1，c＝－3时，原方程为x2＋2x－3＝0，则x1＝1,x2＝－3 　　∴m＝[1－(－3)]2＝16＞4，即m≥4成立 　　当a＝2，c＝时，原方程为2x2＋4x＋＝0 　　由△＝42－4×2×＞0，可设方程的两根分别为x1，x2 　　则x1＋x2＝－2，x1·x2＝．∴m＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4－2＜4， 　　即m≥4不成立. 　　(2)依题意，设原方程的两个实数根是x1，x2则x1＋x2＝－2，x1·x2＝ 　　可得m＝(x1－x2)2＝4－．∵对于任意一个非零的实数a都有4－≥4， 　　∴c＝0当c＝0时，△＝4a2＞0∴c＝0，m＝4．