Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=4，BC=6，AB=3，以BC为x轴，AB为y轴，建立平面直角坐标系xoy．
（1）求过A，C，D三点的抛物线的解析式；
（2）如果一动点P由B点开始沿BC边以1个单位长度/s的速度向点c移动，连接DP，作射线PE⊥DP，PE与直线AB交于点E，当点P移动到第t秒时，点E与点B的距离为s；
①试写出s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
②s是否存在最大值？若存在，直接写出这个最大值，并求出这时PE所在直线的解析式；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）用一般式求抛物线的解析式．
（2）过D点作BC的垂线，构建相似三角形，求BE的长，利用抛物线的顶点式求最值．

解答：解：（1）由题意可知点A，C，D的坐标分别为
（0，3），（6，0），（4，3）
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（1分）
∵抛物线经过点A（0，3），C（6，0），D（4，3）三点
∴

c=3 36a+6b+c=0 16a+4b+c=3

（2分）
解得：

a=- 1 4 b=1 c=3

（4分）
∴抛物线的解析式为y=-

1

4

x²+x+3（5分）

（2）①作DF⊥BC，垂足为F，则BF=4，DF=3，
当t=0，s=0，
当0＜t＜4时，点P在线段BF上，如图所示
∵PE⊥PD，
∴∠EPD=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠PBE=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠2=∠3，
∵DF⊥BC，
∴∠DFP=90°，∠PBE=∠DFP
∴△PBE∽△DFP

BE

PF

=

PB

DF

，即

s

4-t

=

t

3

所以s与t的函数关系式为：s=-

1

3

t²+

4

3

t （0＜t＜4）（7分）
当t=4时，DP与DF重合，PE与BP重合，
此时s=0 （8分）
当4＜t≤6时，点P在线段CF上，如图所示
则同理可证△PBE∽△DFP
则，

BE

BP

=

PF

DF

，

s

t

=

t-4

3

则s=

1

3

t²-

4

3

t（4＜t≤6）
即当4＜t≤6时，s与t的函数关系式为：s=

1

3

t²-

4

3

t（4＜t≤6）（9分）
所以综合上面论述可得s与t的函数关系式为s=

0(t=0) - 1 3 t2+ 4 3 t(0＜t＜4 0(t=4) 1 3 t2- 4 3 t(4＜t≤ 6)

（10分）
②由分析知s存在最大值，当t=6时，S_最大值=4 （11分）
即BE=4
此时，P，E两点的坐标为P（6，0），E（0，-4）（12分）
设过P，E两点的直线解析式为：y=kx+b （k≠0）
则

6k+b=0 b=-4

k= 2 3 b=-4

∴直线PE的解析式是y=

2

3

x-4 （13分）

点评：构建相似三角形，列出相似比，是建立函数关系一个重要手段．求最值问题一般通过配成抛物线的顶点式解决．