题目内容

如图, 在Rt△ABC中,∠C=90º, AC=9,BC=12,动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动,动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,过点P作PD∥BC,交AB于点D,连接PQ. 点P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒(t≥0).

(1)直接用含t的代数式分别表示:QB=__________, PD=___________;

(2)是否存在t的值,使四边形PDBQ为平行四边形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由;

(3)是否存在t的值,使四边形PDBQ为菱形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.并探究如何改变点Q的速度(匀速运动),使四边形PDBQ在某一时刻成为菱形,求点Q的速度.

(1)QB=12-2t PD=.

(2)∵PD∥BC,当PD=BQ时四边形PDBQ为平行四边形,

即12-2t,解得:(秒)  (或秒)

∴存在t的值,使四边形PDBQ为平行四边形.

(3)∵t=3.6时,BQ=PD==4.8,由△ABC∽△ADP,∴AD==6, BD=15-6=9,

∴BD≠PD,∴不存在t使四边形PDBQ为菱形.-设Q以每秒a个单位长度的速度运动,则PD=, BD=15-,QB=12-at,

四边形PDBQ为菱形时,有PD=BD=BQ,先由=15-t=5

t=5代入12-at,解得

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