题目内容
【题目】（2017湖南省益阳市）在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．
（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？
（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n的代数式表示）；
（3）在抛物线
的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数
的图象上，直线AB经过点P（
，），求此抛物线的表达式．
【答案】（1）不一定；（2）y=﹣x+m+n；（3）
．
【解析】试题分析：（1）设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由b=
可得a=
，于是得到结论；
（2）把M（m，n），N（n，m）代入y=cx+d，即可得到结论；
（3）设点A（p，q），则q=
，由直线AB经过点P（
，），得到p+q=1，得到q=﹣1或q=2，将这一对“互换点”代入
，于是得到结论．
试题解析：解：（1）不一定，设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．
①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由b=可得a=，即（a，b）和（b，a）都在反比例函数
（k≠0）的图象上；
（2）由M（m，n）得N（n，m），设直线MN的表达式为y=cx+d（c≠0）．
则有：
，解得：
，∴直线MN的表达式为y=﹣x+m+n；
（3）设点A（p，q），则q=，∵直线AB经过点P（，），由（2）得：
，∴p+q=1，∴
，解并检验得：p=2或p=﹣1，∴q=﹣1或q=2，∴这一对“互换点”是（2，﹣1）和（﹣1，2），将这一对“互换点”代入得，∴
，解得：
，∴此抛物线的表达式为
．
