题目内容
【题目】如图,△ABC中,AB=BC,CE∥AB,以AB为直径作⊙O,当CE是⊙O的切线时,切点为D.
(1)求:∠ABC的度数;
(2)若CD=3,求AC的长度.
【答案】(1)∠ABC=30°;(2)AC=.
【解析】
(1)连接OD,过B作BH⊥CD于H,由AB=BC,四边形BHDO是正方形,求得BH=BC,从而得到∠BCH=30°,然后利用平行线的性质求解;(2)设⊙O于AC交于F,连接BF,由切割线定理求解.
解:(1)连接OD,
∵CE是⊙O的切线,
∴OD⊥CE,
∵CD∥AB,
∴OD⊥AB,
过B作BH⊥CD于H,
则四边形BHDO是正方形,
∴BH=OD,
∵AB=BC,AB为⊙O的直径,
∴BH=BC,
∴∠BCH=30°,
∵CD∥AB,
∴∠ABC=30°;
(2)设⊙O于AC交于F,
连接BF,
∵AB为⊙O的直径,
∴BF⊥AC,
∵AB=BC,
∴CF=AC,
∵CD是⊙O的切线,AC是⊙O的割线,
由切割线定理得,CD2=CFAC=ACAC,
∴32=AC2,
∴AC=(负值舍去).

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