题目内容
【题目】我们知道,任意一个大于1的正整数n都可以进行这样的分解:n=p+q(p、q是正整数,且p≤q),在n的所有这种分解中,如果p、q两数的乘积最大,我们就称p+q是n的最佳分解,并规定在最佳分解时:F(n)=pq.例如6可以分解成1+5,2+4,或3+3,因为1×5<2×4<3×3,所以3+3是6的最佳分解,所以F(6)=3×3=9.
(1)求F(11)的值;
(2)一个正整数,由N个数字组成,若从左向右它的第一位数能被1整除,它的前两位数被2除余1,前三位数被3除余2,前四位数被4除余3,…,一直到前N位数被N除余(N﹣1),我们称这样的数为“多余数”,如:236的第一位数2能被1整除,前两位数23被2除余1,236被3除余2,则236是一个“多余数”.若一个小于200的三位“多余数”记为t,它的各位数字之和再加上1为一个完全平方数,请求出所有“多余数”中F(t)的最大值.
【答案】(1)F(11)=5×6=30;(2)所有“多余数”中F(t)的最大值为7225.
【解析】试题分析:(1)将11分解为1+10、2+9、3+8、4+7、5+6,根据1×10<2×9<3×8<4×7<5×6即可求出F(11)的值;(2)找出小于200的三位“多余数”中的最大值,重复(1)的操作,即可找出所有“多余数”中F(t)的最大值.
试题解析:(1)11可以分解成1+10、2+9、3+8、4+7、5+6,
∵1×10<2×9<3×8<4×7<5×6,
∴F(11)=5×6=30.
(2)小于200且各位数字之和再加上1为一个完全平方数的数有:195、186、177、170、168、161、159、152、143、134、125、120、116、111、107、102,
其中最大的“多余数”为170,
170可以分为1+169、2+168、…、84+86、85+85,
∵1×169<2×168<…<84×86<85×85,
∴F(170)=85×85=7225,
∴所有“多余数”中F(t)的最大值为7225.