Question

完成下列各题：
（1）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r=

3

2

，AC=2，请你求出cosB的值；
（2）小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC．为了知道它的面积，小明在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：

掷石子次数石子落在的区域	50次	150次	300次
石子落在⊙O内（含⊙O上）的次数m	14	43	93
石子落在阴影内的次数n	19	85	186

请你求出封闭图形ABC的面积？

Answer 1

分析：（1）由圆周角定理可知∠B=∠D，所以只需在Rt△ACD中，求出∠D的余弦值即可．
（2）根据统计表，计算出石子落在圆内的概率，即圆面积与总面积的比值，从而可计算出图形ABC的面积．

解答：解：（1）∵AD是⊙O的直径，r=

3

2

，
∴∠ACD=90°，AD=3，
∵AC=2，
∴CD=

32-22

=

5

，
∴cosD=

5

3

，
∵∠B和∠D是同弧所对的圆周角，
∴∠B=∠D，
∴cosB=cosD=

5

3

；

（2）由已知得：当分别投掷50次、150次、300次时，石子落在⊙O内（含⊙O上）的次数m与石子落在阴影内的次数n的比值分别为：
（以下的解答中没有大约两字的要扣去2分）
∵

14

19

≈0.737，

43

85

≈0.506，

93

186

=0.5，
∴圆的面积大约是阴影部分面积的一半，
∵圆的面积大约是π×1²=π（m²），
∴阴影部分的面积大约是2π（m²），
∴封闭图形ABC的面积大约是π+2π=3π（m²）．

点评：本题考查的是游戏公平性的判断，以及圆周角定理、勾股定理以及锐角三角函数的定义，判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．