Question

如图，抛物线与轴交于（，0）、（，0）两点，且，与轴交于点，其中是方程的两个根。

（1）求抛物线的解析式；

（2）点是线段上的一个动点，过点作∥，交于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标；

（3）点在（1）中抛物线上，点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）∵，∴，。

∴，。·

又∵抛物线过点、、，

故设抛物线的解析式为，

将点的坐标代入，求得。

　　∴抛物线的解析式为。·

（2）设点的坐标为（，0），过点作轴于点（如图（1））。

∵点的坐标为（，0），点的坐标为（6，0），

∴，。·

∵，∴。

∴，∴，∴。

∴

。

∴当时，有最大值4。此时，点的坐标为（2，0）。

（3）∵点（4，）在抛物线上，

∴当时，，

∴点的坐标是（4，）。

如图（2），当为平行四边形的边时，，

∵（4，），∴（0，），。∴，。

①     如图（3），当为平行四边形的对角线时，

设，则平行四边形的对称中心为（，0）。

∴的坐标为（，4）。

把（，4）代入，得。

解得 。

，。