题目内容
【题目】已知:△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点(不与点B重合).
(1)如图1，当点D在线段BC上时，线段CE、BD之间的位置关系是__________，数量关系是___________；
(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，探索AD、BD、CD三条线段之间的数量关系，写出结论并证明；
(3)若BD=
CD，直接写出∠BAD的度数。
【答案】（1）CE⊥BD,CE=BD.（2）2AD2=CE2+CE2.（3）当D点在线段BC上时，∠BAD=60°；当D点在BC延长线上时，∠BAD=120°.
【解析】
（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，再根据旋转性质可得AD=AE，∠DAE=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△BAD和△CEF全等，从而得证；
（2）将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．与（1）同理可得CE=BD，CE⊥BD，根据勾股定理即可求得2AD2=BD2+CD2；
（3）分两种情况分别讨论即可求得．
（1）如图1，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=90°，
∴∠DAE=∠CAE+∠DAC=90°，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，∠ACE=∠ABC=45°．
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
∴BD⊥CE；
（2）2AD2=BD2+CD2，
理由：如图2，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE、DE．
与（1）同理可证CE=BD，CE⊥BD，
∵∠EAD=90°AE=AD，
∴ED=
AD，
在RT△ECD中，ED2=CE2+CD2，
∴2AD2=BD2+CD2．
（3）如图3，①当D在BC边上时，将线段AD1绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AE，连接BE，
与（1）同理可证△ABE≌△ACD1，
∴BE=CD1，BE⊥BC，
∵BD=
CD，
∴BD1=BE，
∴tan∠BD1E=
，
∴∠BD1E=30°，
∵∠EAD1=∠EBD1=90°，
∴四边形A、D1、B、E四点共圆，
∴∠EAB=∠BD1E=30°，
∴∠BAD1=90°-30°=60°；
②当D在BC延长线上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AF，连接CF．
同理可证：∠CFD2=30°，
∵∠FAD2=∠FCD2=90°，
∴四边形A、F、D2、C四点共圆，
∴∠CAD2=∠CFD2=30°，
∴∠BAD2=90°+30°=120°，
综上，∠BAD的度数为60°或120°．
