Question

已知如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB 的延长线上，∠BCD=∠A。
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）过点C作CE⊥AB于E，若CE=2，cosD=，求⊙O的半径。

Answer 1

解：（1）连接CO， ∵AB是⊙O直径， ∴∠1+∠OCB=90°， ∵AO=CO， ∴∠1=∠A， ∵∠5=∠A， ∴∠5+∠OCB=90°， 即∠OCD=90°， ∴OC⊥CD， 又∵OC是⊙O半径， ∴CD为⊙O的切线。
（2）∵OC⊥CD于C， ∴∠3+∠D=90°， ∵CE⊥AB于E， ∴∠3+∠2=90°， ∴∠2=∠D， ∴cos∠2=cosD， 在△OCE中，∠OEC=90°， ∴cos∠2=CE/CO， ∵cos∠D= 4/5，CE=2， ∴2/CO=4/5， ∴CO=5/2， ⊙O的半径为5/2。