题目内容

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB=10，AD=6，DC=8，BC=12，点E在下底边BC上，点F在AB上．
（1）若EF平分直角梯形ABCD的周长，设BE的长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；
（2）是否存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；
（3）若线段EF将直角梯形ABCD的周长分为1：2两部分，将△BEF的面积记为S₁，五边形AFECD的面积记为S₂，且S₁：S₂=K求出k的最大值．

解：（1）∵EF平分直角梯形ABCD的周长，BE=x，
x+BF=10-BF+6+8+12-x，
BF=18-x
由已知，得梯形周长=36，高=8，面积=72．
过点F作FG⊥BC于点G，过点A作AK⊥BC于点K，
则△BFG∽△BAK，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
可得FG= $\text{[math]}$ ）
S_△BEF= $\text{[math]}$

（2）不存在．
由（1） $\text{[math]}$ =36，
整理得：（x-9）²=-9，此方程无解．
不存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分．

（3）由已知易知，线段EF将直角梯形ABCD的周长分为1：2两部分，只能是FB+BE与FA+AD+DC+CE的比是1：2．
k=S₁：S₂= $\text{[math]}$ 要使k取最大值，只需S₁取最大值．
与（1）同理，FG= $\text{[math]}$ S₁= $\text{[math]}$ ，
当x=6时，S₁取最大值 $\text{[math]}$ ．此时k= $\text{[math]}$
∴k的最大值是 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由已知，得梯形周长=36，高=8，面积=72．用含x的代数式表示△BEF的面积，只需求FG即可；
（2）根据函数关系式无解，知不存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分．
（3）由已知易知，线段EF将直角梯形ABCD的周长分为1：2两部分，只能是FB+BE与FA+AD+DC+CE的比是1：2，则有k=S₁：S₂= $\text{[math]}$ ，要使k取最大值，只需S₁取最大值，根据S_△BEF= $\text{[math]}$ ，求出S₁取最大值 $\text{[math]}$ ．得出k的最大值是 $\text{[math]}$ ．
点评：本题结合直角梯形的性质考查二次函数的综合应用，注意此题三角形边与面积，梯形周长，高，面积相互间的关系．