题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(﹣4,0),B(0,﹣4),C(2,0)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.
【答案】(1);(2)S=﹣m2﹣4m,S的最大值为4.
【解析】试题分析:(1)根据抛物线与x轴的交点A与C坐标设出抛物线的二根式方程,将B坐标代入即可确定出解析式;
(2)过M作x轴垂线MN,三角形AMB面积=梯形MNOB面积+三角形AMN面积﹣三角形AOB面积,求出即可.
试题解析:(1)设抛物线解析式为y=a(x+4)(x﹣2),将B(0,﹣4)代入得:﹣4=﹣8a,即a=,则抛物线解析式为y=(x+4)(x﹣2),即;
(2)过M作MN⊥x轴,将x=m代入抛物线得:y=m2+m﹣4,即M(m, m2+m﹣4),∴MN=|m2+m﹣4|=﹣m2﹣m+4,ON=﹣m,∵A(﹣4,0),B(0,﹣4),∴OA=OB=4,∴△AMB的面积为S=S△AMN+S梯形MNOB﹣S△AOB=×(4+m)×(﹣m2﹣m+4)+×(﹣m)×(﹣m2﹣m+4+4)﹣×4×4
=2(﹣m2﹣m+4)﹣2m﹣8
=﹣m2﹣4m
=﹣(m+2)2+4
当m=﹣2时,S取得最大值,最大值为4.
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