Question

已知如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，求证CE=

1

2

BD．

Answer 1

分析：分别延长CE、BA，它们交于F点，由BE平分∠ABC，CE⊥BE，得到△BCF为等腰三角形，FC=2EC；易证得Rt△≌Rt△ACF，则根据全等三角形的性质，BD=CF，即可得到结论．

解答：证明：分别延长CE、BA，它们交于F点，如图：
∵BE平分∠ABC，CE⊥BE，
∴△BCF为等腰三角形，FC=2EC，
∵∠BAC=∠BEC=90°，∠ADB=∠EDC，
∴∠2=∠3，
而AB=AC，
∴Rt△ABD≌Rt△ACF，
∴BD=CF，
∴CE=

1

2

BD．

也可采用下面的证法：
证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC=

2

AB，
∵BE平分∠ABC，
∴AD：DC=AB：BC=1：

2

，
设AD=1，则DC=

2

，AB=1+

2

，
∴BD²=（1+

2

）²+1²=4+2

2

，
又∵CE⊥BE，
∴Rt△DAB∽Rt△DEC，
∴

EC

AB

=

DC

BD

，即EC²：（1+

2

）²=（

2

）²：（4+2

2

），
∴EC²=

2+ 2

2

，
∴EC²：BD²=1：4，
∴CE=

1

2

BD．

点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质．特别是底边上的高，中线和顶角的角平分线合一．也考查了三角形全等的判定与性质．