Question

如图，直线MN：y=-x+b与x轴交于点M（4，0），与y轴交于点N，长方形ABCD的边AB在x轴上，AB=2，AD=1．长方形ABCD由点A与点O重合的位置开始，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向作匀速直线运动，当点A与点M重合时停止运动．设长方形运动的时间为t秒，长方形ABCD与△OMN重合部分的面积为S．
（1）求直线MN的解析式；
（2）当t=1时，请判断点C是否在直线MN上，并说明理由；
（3）请求出当t为何值时，点D在直线MN上；
（4）直接写出在整个运动过程中S与t的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）将M坐标代入一次函数解析式求出b的值，即可确定出直线MN解析式；
（2）如图1所示，当t=1时，点C在直线MN上，理由为：由t=1求出点A运动的路程，再由AB与AD的长，确定出此时C的坐标，将C坐标代入一次函数进行检验即可；
（3）如图2所示，点D向右平移过程中纵坐标不变，由题意求出开始时D的坐标，将D纵坐标代入一次函数解析式中求出x的值，确定出平移后D的坐标，即可求出此时t的值；
（4）分四组情况考虑：当0≤t≤1时，如图1，S为矩形的面积，表示出即可；当1＜t≤2时，如图2，S为矩形的面积-三角形的面积，当2＜t≤3时如图3，S=梯形ADFM的面积，当3＜t≤4时，如图4，S=S_△AMF的值．

解答：解：（1）∵点M（4，0）在y=-x+b上，
∴0=-4+b，
∴b=4．
∴直线MN的解析式为：y=-x+4；

（2）当t=1时，点C在直线MN上，
∵当t=1时，C（3，1），
∴当x=3时，y=-3+4=1．
∵C点的纵坐标y=1，
∴点C（3，1）在直线MN上．

（3）∵开始时D点的坐标为（0，1），
∴平移后D点纵坐标为1，
∴1=-x+4，
∴x=3．
∴平移后点D的坐标为（3，1）．
∴t=（3-0）÷1=3
∴t=3时，点D在直线MN上；

（4）由题意，得
当0≤t≤1时，如图1
S=2
当1＜t≤2时，如图2，
∵MN的解析式为y=-x+4，
当x=0时，y=4，
当y=0时，x=4，
∴OM=ON=4，
∴tan∠OMN=1．
∴∠OMN=45°，
∴BM=BE．
∵MB=4-2-t=2-t，
∴BE=2-t．
∴CF=CE=1-（2-t）=t-1
S=2-

(t-1)2

2

，
=-0.5t²+t+1.5；
当2＜t≤3时，如图3，作EF⊥AB于E，
∴EF=1，
∴EM=1．
∵MB=t+2-4=t-2，
∴AM=2-（t-2）=4-t，
∴AE=4-t-1=3-t，
∴DF=3-t，
∴S=

[(3-t)+(4-t)]×1

2

=-t+3.5；
当3＜t≤4时，如图4，
∵AM=AF=4-t，
∴S=

(4-t)2

2

=0.5t²-4t+8，
综上所述：
S=

2(0≤t≤1) -0.5t2+t+1.5(1＜t≤2) -t+3.5(2＜t≤3) 0.5t2-4t+8(3＜t≤4)

．

点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，判定点的坐标是否在图象上的运用，等腰直角三角形的性质的运用，矩形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时求出直线解析式是关键．