Question

如图，已知抛物线y=ax²-4x+c经过点A（0，-6）和B（3，-9）．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；
（3）点P（m，m）与点Q均在抛物线上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q的坐标；
（4）在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得△QMA的周长最小．

Answer 1

分析：（1）将A、B点的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组求得a、c的值，从而确定该抛物线的解析式．
（2）用配方法将（1）所得抛物线解析式化为顶点坐标式，即可得到其对称轴方程和顶点坐标．
（3）由于点P在抛物线的图象上，那么点P的坐标一定满足该抛物线的解析式，将其代入抛物线的解析式中，即可求得m的值，进而可根据（2）得到的对称轴方程求得点Q的坐标．
（4）△QMA中，QA的长是定值，若其周长最小，那么MA+MQ的值最小，由于Q、P关于抛物线的对称轴对称，若连接AP，那么直线AP与抛物线对称轴的交点必为所求的M点，可先利用待定系数法求得直线AC的解析式，然后联立抛物线的对称轴方程求出点M的坐标．

解答：解：（1）依题意有

a×02-4×0+c=-6 a×32-4×3+c=-9

，
即

c=-6 9a-12+c=-9

，
∴

a=1 c=-6

；
∴抛物线的解析式为：y=x²-4x-6．

（2）把y=x²-4x-6配方得，y=（x-2）²-10，
∴对称轴方程为x=2；
顶点坐标（2，-10）．

（3）由点P（m，m）在抛物线上，
有m=m²-4m-6，
即m²-5m-6=0，
∴m₁=6或m₂=-1（舍去），
∴P（6，6），
∵点P、Q均在抛物线上，且关于对称轴x=2对称，
∴Q（-2，6）．

（4）连接AQ，AP，直线AP与对称轴x=2相交于点M，由于P，Q两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点M，能够使得△QAM的周长最小；
设直线PA的解析式y=kx+b，
∴有

b=-6 k×6+b=6

，
∴

k=2 b=-6

，
∴直线PA的解析式为：y=2x-6；
设点M（2，n），
则有n=2×2-6=-2，
此时点M（2，-2）能够使得△AMQ的周长最小．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、抛物线顶点坐标的求法、函数图象上点的坐标意义、平面展开-最短路径等知识点，难度适中．