Question

如图，已知P为正比例函数图象上一点，PA⊥y轴，垂足为A，PB⊥OP，与x轴交于点B．
（1）你能得出OP²=PA•OB的结论吗？说说你的理由．
（2）若P点的横坐标为1，B点的横坐标为5，求tan∠POB的值．
（3）求经过点P和点B的直线解析式．

Answer 1

分析：（1）先判断出能得到结论，再结合图形得到∠AOP与∠PBD都是∠POB的余角，求出△POA∽△OPB，即可得出OP²=PA•OB；
（2）先设出点P的坐标为（1，m），即可得出点A、B的坐标，再根据PC²=PA•BD和PB²=OB²-PO²分别得出PO、PB的值，即可求出答案；
（3）先作PD⊥x 轴，根据OP²=OD²+PD²=1+m² 得出m的值，从而求出点P的坐标为（1，2），再把点P和点B的坐标代入直线PB的解析式为y=kx+b即可求出答案；

解答：解：（1）能得到结论．
∵∠AOP与∠PBD都是∠POB的余角，
∴∠AOP=∠PBO，
又∠PAO=∠OPB=90°，
∴△POA∽△OPB，
∴

OP

PA

=

OB

OP

，
即：OP²=PA•OB；

（2）设点P的坐标为（1，m）则点A（0，m）、B（5，0），
∵PC²=PA•BD=1×5，
∴PO=

5

，
又PB²=OB²-PO²=5²-（

5

）²=20，
∴PB=2

5

，
∴tan∠POB=

PB

PO

=

2 5

5

=2．

（3）作PD⊥x 轴，垂足为D，则
OP²=OD²+PD²=1+m²，
∴（

5

）²=1+m²，
∴m=±2，
∴m=2，
∴点P的坐标为（1，2），
设直线PB的解析式为  y=kx+b 则有

2=k+b 0=5+b

解得：

k=- 1 2 b= 5 2

，
∴y=-

1

2

x+

5

2

．

点评：此题考查了一次函数的综合应用，解题时要根据所给的条件画出图形是解题的关键；是一道常考题型．