题目内容
【题目】如图,在矩形ABCD中,E为CD的中点,F为BE上的一点,连结CF并延长交AB于点M,MN⊥CM交射线AD于点N.
(1)当F为BE中点时,求证:AM=CE;
(2)若 =2,求的值;
(3)若=n,当n为何值时,MN∥BE?
【答案】(1)详见解析;(2)3;(3)n=4.
【解析】
试题分析:(1)如图1,易证△BMF≌△ECF,则有BM=EC,然后根据E为CD的中点及AB=DC就可得到AM=EC;(2)如图2,设MB=a,易证△ECF∽△BMF,根据相似三角形的性质可得EC=2a,由此可得AB=4a,AM=3a,BC=AD=2a.易证△AMN∽△BCM,根据相似三角形的性质即可得到AN= a,从而可得ND=AD﹣AN=a,就可求出的值;(3)如图3,设MB=a,同(2)可得BC=2a,CE=na.由MN∥BE,MN⊥MC可得∠EFC=∠HMC=90°,从而可证到△MBC∽△BCE,然后根据相似三角形的性质即可求出n的值.
试题解析:(1)当F为BE中点时,如图1,
则有BF=EF.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,AB∥DC,
∴∠MBF=∠CEF,∠BMF=∠ECF.
在△BMF和△ECF中,
,
∴△BMF≌△ECF,
∴BM=EC.
∵E为CD的中点,
∴EC=DC,
∴BM=EC=DC=AB,
∴AM=BM=EC;
(2)如图2,
设MB=a,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AB=DC,∠A=∠ABC=∠BCD=90°,AB∥DC,
∴△ECF∽△BMF,
∴=2,
∴EC=2a,
∴AB=CD=2CE=4a,AM=AB﹣MB=3a.
∵=2,
∴BC=AD=2a.
∵MN⊥MC,
∴∠CMN=90°,
∴∠AMN+∠BMC=90°.
∵∠A=90°,
∴∠ANM+∠AMN=90°,
∴∠BMC=∠ANM,
∴△AMN∽△BCM,
∴ ,
∴ ,
∴AN=a,ND=AD﹣AN=2a﹣a=a,
∴=3;
(3)当=n时,如图3,
设MB=a,同(2)可得BC=2a,CE=na.
∵MN∥BE,MN⊥MC,
∴∠EFC=∠HMC=90°,
∴∠FCB+∠FBC=90°.
∵∠MBC=90°,
∴∠BMC+∠FCB=90°,
∴∠BMC=∠FBC.
∵∠MBC=∠BCE=90°,
∴△MBC∽△BCE,
∴ ,
∴ ,
∴n=4.
【题目】小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如下表
抛掷次数 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 |
正面朝上的频数 | 53 | 98 | 156 | 202 | 249 |
若抛掷硬币的次数为1000,则“正面朝上”的频数最接近( )
A.200B.300C.400D.500