题目内容

【题目】如图,在矩形ABCD中,E为CD的中点,F为BE上的一点,连结CF并延长交AB于点M,MNCM交射线AD于点N.

(1)当F为BE中点时,求证:AM=CE;

(2)若 =2,求的值;

(3)若=n,当n为何值时,MNBE?

【答案】(1)详见解析;(2)3;(3)n=4.

【解析】

试题分析:(1)如图1,易证BMF≌△ECF,则有BM=EC,然后根据E为CD的中点及AB=DC就可得到AM=EC;(2)如图2,设MB=a,易证ECF∽△BMF,根据相似三角形的性质可得EC=2a,由此可得AB=4a,AM=3a,BC=AD=2a.易证AMN∽△BCM,根据相似三角形的性质即可得到AN= a,从而可得ND=AD﹣AN=a,就可求出的值;(3)如图3,设MB=a,同(2)可得BC=2a,CE=na.由MNBE,MNMC可得EFC=HMC=90°,从而可证到MBC∽△BCE,然后根据相似三角形的性质即可求出n的值.

试题解析:(1)当F为BE中点时,如图1,

则有BF=EF.

四边形ABCD是矩形,

AB=DC,ABDC,

∴∠MBF=CEF,BMF=ECF.

BMF和ECF中,

∴△BMF≌△ECF,

BM=EC.

E为CD的中点,

EC=DC,

BM=EC=DC=AB,

AM=BM=EC;

(2)如图2,

设MB=a,

四边形ABCD是矩形,

AD=BC,AB=DC,A=ABC=BCD=90°,ABDC,

∴△ECF∽△BMF,

=2,

EC=2a

AB=CD=2CE=4a,AM=AB﹣MB=3a

=2,

BC=AD=2a

MNMC,

∴∠CMN=90°,

∴∠AMN+BMC=90°.

∵∠A=90°,

∴∠ANM+AMN=90°,

∴∠BMC=ANM,

∴△AMN∽△BCM,

AN=a,ND=AD﹣AN=2a﹣a=a,

=3;

(3)当=n时,如图3,

设MB=a,同(2)可得BC=2a,CE=na.

MNBE,MNMC,

∴∠EFC=HMC=90°,

∴∠FCB+FBC=90°.

∵∠MBC=90°,

∴∠BMC+FCB=90°,

∴∠BMC=FBC.

∵∠MBC=BCE=90°,

∴△MBC∽△BCE,

n=4.

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