Question

【题目】已知关于x的方程

（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；

（2）若关于x的二次函数的图象与x轴两交点间的距离为2，且抛物线的开口向上时，求此抛物线的解析式；

（3）在坐标系中画出(2)中的函数图象，分析当直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点时b的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）所求抛物线的解析式为：y1=x2－2x；（3）b>－.

【解析】试题分析：（1）本题中，二次项系数m的值不确定，分为m=0，m≠0两种情况，分别证明方程有实数根．

（2）抛物线经过原点，c=0，列出方程即可解决．

（3）列出方程组，有两个交点，△＞0，即可求出b的取值范围．

试题解析：：（1）分两种情况讨论．

①当m=0时，方程为x-2=0，x=2．

∴m=0时，方程有实数根．

②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式

△=[-（3m-1）]2-4m（2m-2）

=9m2-6m+1-8m2+8m=m2+2m+1

=（m+1）2≥0，

∴m≠0时，方程有实数根．

故无论m取任何实数时，方程恒有实数根．

综合①②可知，m取任何实数，方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0恒有实数根；

（2）∵抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2经过原点，

∴2m-2=0，

∴m=1，

∴抛物线解析式为y=x2-2x．

（3）函数图象如图所示，由消去y得到x2-3x-b=0，

∵两个函数图象有两个交点，

∴△＞O，

∴9+4b＞0，

∴b＞-时直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点．