题目内容

.(10分)(1)如图1,已知点P在正三角形ABC的边BC上,以AP为边作正三角形APQ,连接CQ.
①求证:△ABP≌△ACQ;
②若AB=6,点D是AQ的中点,直接写出当点P由点B运动到点C时,点D运动路线的长.
(2)已知,△EFG中,EF=EG=13,FG=10.如图2,把△EFG绕点E旋转到△EF'G'的位置,点M是边EF'与边FG的交点,点N在边EG'上且EN=EM,连接GN.求点E到直线GN的距离.
(1)①因为三角形ABC和三角形APQ是正三角形,
所以AB=AC,AP=AQ,∠BAC=∠PAQ.
所以∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC.
所以∠BAP=∠CAQ.
所以△ABP≌△ACQ.……………………3分
②3……………………5分
(2)解法一:
过点E作底边FG的垂线,点H为垂足.

在△EFG中,易得EH=12.……………………6分
类似(1)可证明△EFM≌△EGN,……………………7分
所以∠EFM=∠EGN.
因为∠EFG=∠EGF,
所以∠EGF=∠EGN,
所以GE是∠FGN的角平分线,……………………9分
所以点E到直线FG和GN的距离相等,
所以点E到直线GN的距离是12.……………10分
解法二:
过点E作底边FG的垂线,点H为垂足.过点E作直线GN的垂线,点K为垂足.

在△EFG中,易得EH=12.……………………6分
类似(1)可证明△EFM≌△EGN,……………………7分
所以,∠EFM=∠EGN.
可证明△EFH≌△EGK,……………………9分
所以,EH=EK.
所以点E到直线GN的距离是12.………………10分
解法三:
把△EFG绕点E旋转,对应着点M在边FG上从点F开始运动.

由题意,在运动过程中,点E到直线GN的距离不变.
不失一般性,设∠EMF=90°.
类似(1)可证明△EFM≌△EGN,
所以,∠ENG=∠EMF=90°.
求得EM=12.
所以点E到直线GN的距离是12.
(酌情赋分)解析:
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