Question

已知点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设△OPA的面积为S．
（1）求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求S=12时P点坐标；
（3）在（2）的基础上，设点Q为y轴上一动点，当PQ+AQ的值最小时，求Q点坐标．

Answer 1

分析：（1）首先把x+y=10，变形成y=10-x，再利用三角形的面积求法：底×高÷2=S，可以得到S关于x的函数表达式；P在第一象限，故x＞0，再利用三角形的面积S＞0，可得到x的取值范围；
（2）把S=12代入函数解析式即可；
（3）根据题意画出图象，作出A的对称点A′，连接PA′，此时PA′与y轴交于点Q，此时PQ+AQ的值最小，进而求出即可．

解答：解：（1）∵x+y=10
∴y=10-x，
∴s=8（10-x）÷2=40-4x，
∵40-4x＞0，
∴x＜10，
∴0＜x＜10，

（2）∵s=12，
∴12=40-4x，
x=7
∴y=10-7=3，
∴s=12时，P点坐标（7，3），

（3）画出函数S的图形如图所示．
作出A的对称点A′，连接PA′，此时PA′与y轴交于点Q，此时PQ+AQ的值最小，
∵A点坐标为（8，0），
∴A′（-8，0），
∴将（-8，0），（7，3）代入y=kx+b，
∴

0=-8k+b 3=7k+b

，
解得：

k= 1 5 b= 8 5

，
∴y=

1

5

x+

8

5

，
∴x=0时，y=

8

5

，
当PQ+AQ的值最小时，Q点坐标为：（0，

8

5

）．

点评：此题主要考查了待定系数法求函数解析式以及画一次函数的图象和最短路线求法，解题时一定要注意自变量的取值范围．