Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C，P是 上两点，AB=13，AC=5．
（1）如图（1），若点P是 的中点，求PA的长；
（2）如图（2），若点P是 的中点，求PA的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图（1）所示，连接PB，

∵AB是⊙O的直径且P是 的中点，

∴∠PAB=∠PBA=45°，∠APB=90°，

又∵在等腰三角形△APB中有AB=13，

∴PA= = =

（2）解：如图（2）所示：连接BC．OP相交于M点，作PN⊥AB于点N，

∵P点为弧BC的中点，

∴OP⊥BC，∠OMB=90°，

又因为AB为直径

∴∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠OMB，

∴OP∥AC，

∴∠CAB=∠POB，

又因为∠ACB=∠ONP=90°，

∴△ACB∽△0NP

∴ = ，

又∵AB=13 AC=5 OP= ，

代入得 ON= ，

∴AN=OA+ON=9

∴在Rt△OPN中，有NP2=0P2﹣ON2=36

在Rt△ANP中 有PA= = =3

∴PA=3

【解析】（1）根据圆周角的定理，∠APB=90°，P是弧AB的中点，所以三角形APB是等腰三角形，利用勾股定理即可求得．（2）根据垂径定理得出OP垂直平分BC，得出OP∥AC，从而得出△ACB∽△0NP，根据对应边成比例求得ON、AN的长，利用勾股定理求得NP的长，进而求得PA．
【考点精析】本题主要考查了等腰直角三角形和勾股定理的概念的相关知识点，需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能正确解答此题．