题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA= 
，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2， 
），与y轴交于点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；
（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．
【答案】
（1）
解：方法一：把点B的坐标代入抛物线的表达式，得 
=a×22﹣2a﹣a，
解得a= ，
∴抛物线的表达式为y= x2﹣ x﹣
（2）
解：方法一：连接CD，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠BCF+∠CBF=90°
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCF=90°，
∴∠ACO=∠CBF，
∵∠AOC=∠CFB=90°，
∴△AOC∽△CFB，
∴ 
= 
，
设OC=m，则CF=2﹣m，则有 
= 
，
解得m1=m2=1，
∴OC=CF=1，
当x=0时，y=﹣ ，
∴OD= ，
∴BF=OD，
∵∠DOC=∠BFC=90°，
∴△OCD≌△FCB，
∴DC=CB，∠OCD=∠FCB，
∴点B、C、D在同一直线上，
∴点B与点D关于直线AC对称，
∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上
方法二：
设C点坐标为（t，0），B点关于直线AC的对称点为B′，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∴KAC×KBC=﹣1，
∵OA= 
，∴A（0， ），B（2， ），C（t，0），
∴ 
=﹣1，
∴t（t﹣2）=﹣1，
∴t=1，C（1，0），
∴ 
， 
，
∴B′x=0，B′Y=﹣ ，
∴B关于直线AC的对称点即为点D
（3）
解：方法一：
过点E作EG⊥y轴于点G，设直线AB的表达式为y=kx+b，则 
，
解得k=﹣ ，
∴y=﹣ x+ ，代入抛物线的表达式﹣ x+ = x2﹣ x﹣ ．
解得x=2或x=﹣2，
当x=﹣2时y=﹣ x+ =﹣ ×（﹣2）+ = 
，
∴点E的坐标为（﹣2， ），
∵tan∠EDG= 
= 
= ，
∴∠EDG=30°
∵tan∠OAC= 
= 
= ，
∴∠OAC=30°，
∴∠OAC=∠EDG，
∴ED∥AC
方法二：
∵A（0， ），B（2， ），
∴ 
，
解得：x1=2（舍），x2=﹣2，
∴E（﹣2， ），D（0，﹣ ），A（0， ），C（1，0），
∴KED= 
，KAC= 
，
∴KED=KAC，
∴ED∥AC．
【解析】方法一：（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式即可求得．（2）通过△AOC∽△CFB求得OC的值，通过△OCD≌△FCB得出DC=CB，∠OCD=∠FCB，然后得出结论．（3）设直线AB的表达式为y=kx+b，求得与抛物线的交点E的坐标，然后通过解三角函数求得结果．
方法二：（1）略．（2）利用垂直公式及中点公式求出点B关于直线AC的对称点B’坐标，并得出B’与点D重合．（3）分别求出点A，C，E，D坐标，并证明直线ED与AC斜率相等．
