Question

21、已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD=∠A．
（Ⅰ）求证：BD与⊙O相切；
（Ⅱ）若AD：AO=8：5，BC=2，求BD的长．

Answer 1

分析：（1）连接OD，证明OD⊥BD．转证∠ADO+∠CDB=90°．因为∠ADO=∠A=∠CBD，∠CBD+∠CDB=90°，所以得证；
（2）AD：AO=8：5，则AD：AE=8：：10．证明△BCD∽△ADE，得对应边成比例求解．

解答：（1）证明：连接OD．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°．
∵∠CBD=∠A，
∴∠CDB+∠ADO=90°，
∴∠ODB=90°，
∴BD与⊙O相切；

（2）解：连接DE，则∠ADE=90°．
∵∠CBD=∠A，∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△BCD，
∴AD：AE=BC：BD．
∵AD：AO=8：5，
∴AD：AE=8：10．
∴8：10=2：BD，
∴BD=2.5．

点评：此题考查切线的判定和相似三角形的判定及性质，属常规题，难度不大．