Question

如图，?ABCD中，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC；
（1）请你在图中作出BE；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）；
（2）求证：四边形BEDF是平行四边形．

Answer 1

（1）解：∠ABC的平分线BE如图所示：

（2）证明：在?ABCD中，AB=CD，∠A=∠C，∠ABC=∠CDA．
∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
∵，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF（全等三角形的对应边相等），
∴AD-AE=BC-CF，即ED=FB．
又∵AD∥BC，即ED∥BF（平行四边形的对边相互平行），
∴四边形BEDF是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
分析：（1）按作一个角的平分线的基本作图作图即可；
（2）通过△ABE≌△CDF证得AE=CF；然后利用“平行四边形ABCD的对边平行且相等”的性质证得ED∥BF，且ED=BF；最后根据“对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得结论．
点评：本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．