Question

如图，P为正比例函数y=

3

4

x上的一个动点，⊙P的半径为2，设点P的坐标为（m，n）．
（1）求⊙P与直线x=4相切时m、n的值；
（2）写出⊙P与直线x=4相交、相离时m的取值范围；
（3）若⊙P从原点出发，以每秒1个单位的速度沿直线l：向右上方向运动，同时圆的半径逐渐增大，半径r与运动时间t（秒）的关系为r=t+2．则当t取何值时，⊙P与直线l相切？（本大题不必写过程，直接写出结论）

Answer 1

分析：（1）根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径分点P在x=4的左边与右边两种情况求出点P的横坐标，即m的值，然后代入直线解析式求出纵坐标，即n的值；
（2）根据直线与圆相交，圆心到直线的距离小于圆的半径求出m的取值范围，根据直线与圆相离，圆心到直线的距离大于圆的半径分⊙P在直线x=4的左边与右边两种情况求出相离时的m的取值范围；
（3）根据直线解析式求出点P的横坐标的变化量，然后分点P在直线x=4的左边与右边两种情况表示出点P到直线x=4的距离，再根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于圆的半径列出方程计算即可得解．

解答：解：（1）∵⊙P的半径为2，
∴⊙P与直线x=4相切时，若⊙P在直线x=4的左边，
则点P的横坐标为4-2=2，
即m=2，
此时n=

3

4

×2=

3

2

，
若⊙P在直线x=4的右边时，点P的横坐标为4+2=6，
即m=6，
此时n=

3

4

×6=

9

2

；

（2）根据（1），当2＜m＜6时，⊙P与直线x=4相交，
当m＜2或m＞6时，⊙P与直线x=4相离；

（3）∵点P在y=

3

4

x上以每秒1个单位的速度运动，
∴点P的横坐标的变化量为

4

5

t，
点P在直线x=4的左边时，P到直线x=4的距离为4-

4

5

t，
∵⊙P与直线l相切，
∴4-

4

5

t=t+2，
解得t=

10

9

，
点P在直线x=4的右边时，点P到直线x=4的距离为

4

5

t-4，
∵⊙P与直线l相切，
∴

4

5

t-4=t+2，
解得t=-30（不合题意，舍去），
综上所述，t=

10

9

秒时，⊙P与直线l相切．

点评：本题考查了圆的综合题型，主要考查了直线与圆相切，相交，相离是圆心与直线的距离关系，难度不大，难点在于每一小题都要分⊙P在直线x=4的左边与右边两种情况讨论．