Question

（2012•闸北区一模）已知：如图，直线y=x-15与x轴、y轴分别相交于点A和点B．抛物线y=-

1

3

x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）若这抛物线的顶点为点D，与x轴的另一个交点为点C．对称轴与x轴交于点H，求△DAC的面积；
（3）若点E是线段AD的中点．CE与DH交于点G，点P在y轴的正半轴上，△POH是否能够与△CGH相似？如果能，请求出点P的坐标；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）分别把x=0和y-0代入一次函数的解析式，求出A、B的坐标，代入抛物线得出方程组，求出方程组的解，即可得出抛物线的解析式；
（2）求出顶点D的坐标和C的坐标，根据三角形的面积公式求出即可；
（3）求出GH、HO、CH的值，根据相似三角形的性质得出两个比例式，代入即可求出P的坐标．

解答：解：（1）∵y=x-15，
y=0时，0=x-15，
∴x=15，
当x=0时，y=-15，
∴A（15，0），B（0，-15），
代入得

- 1 3 ×152+15b+c=0 c=-15

，
解得

b=6 c=-15

，
∴抛物线的解析式：y=-

1

3

x²+6x-15．

（2）抛物线的解析式可变形为y=-

1

3

(x-9)2+12，
∴顶点D坐标为（9，12），
设y=0，则-

1

3

(x-9)2+12=0，
∴（x-9）²=36．
∴x₁=3，x₂=15，
∴点C的坐标为（3，0），
∴S△DAC=

1

2

DH•AC=

1

2

×12×12=72．

（3）∵点E是线段AD的中点，点H是线段AC的中点，．
∴点G是△DAC的重心．如图：

∵顶点D坐标为（9，12），
∴GH=

1

3

DH=4，
∴HO=9，CH=6．
设△POH∽△GHC时，

PO

GH

=

HO

CH

，
∴

PO

4

=

9

6

∴PO=6，
∴P₁（0，6）；
△POH∽△CHG时，

PO

CH

=

HO

GH

，

PO

6

=

9

4

，
∴PO=

27

2

．
∴P2(0，

27

2

)．
∴△POH能够与△CHG相似，相似时点P的坐标为P₁（0，6）或P2(0，

27

2

)．

点评：本题考查了三角形的面积，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标，相似三角形的性质和判定等知识点的运用，主要培养了学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较典型，但有一定的难度，注意：分类讨论思想的运用．