Question

如图，已知抛物线y=x²+bx+c过点A（3，0）和原点O．正方形BCDE的顶点B在抛物线y=x²+bx+c上，且在对称轴的左侧，点C、D在x轴上，点E在第四象限，且OD=1．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）求正方形BCDE的边长．
（3）若正方形BCDE沿x轴向右平移，当正方形的顶点落在抛物线y=x²+bx+c上时，求平移的距离．

Answer 1

解：（1）由题意可得：，
解得．
故这条抛物线的解析式y=x²-3x．

（2）设正方形的边长为a，
∵OD=1，
∴OD=1-a，
∴B（1-a，-a）代入解析式：-a=（1-a）²-3（1-a）．
解得：a₁=-1，a₂=-1-（不合题意舍去），
故正方形BCDE的边长为：-1；

（3）①当E点运动到抛物线上时，设平移后正方形为B′C′D′E′，
根据抛物线的对称性可知：E′（1+，1-），
因此OD′=1+，即平移的距离为OD′-OD=．
②当B点运动到抛物线上时，同理可求得B′（1+，1-），
因此OC′=1+，
因为OC=1-a=2-，
因此平移的距离为OC′-OC=2-1．
③当D点运动到抛物线上时，可得D′（3，0），因此平移的距离为OD′-OD=3-1=2．
④当C点运动到抛物线上时，可得C′（3，0），因此抛物线移动的距离为OC′-OC=3-（2-）=1+．
综上所述，正方形平移的距离为，2，2-1，+1．
分析：（1）将A和原点的坐标代入抛物线中，即可求出抛物线的解析式．
（2）可设出C的坐标如（a，0），那么CD=BC=1-a，因此B点坐标为（a，1-a）代入抛物线的解析式中即可求出B点坐标，代入求得的函数解析式即可求得a值，从而求得正方形的边长．
（3）本题要按四边顶点分别在抛物线的图象上这四种情况进行求解，解题思路一致．以E点落在抛物线图象上为例说明：题（2）已经求出了正方形的边长为-1，根据抛物线的对称性，那么此时E′的坐标为（1+，1-），已知了OD=6，而OD′=1+，因此移动的距离为OD′-OD=．．
点评：本题考查了二次函数解析式的确定、正方形的性质、函数图象的平移、一次函数的应用等知识，考查的知识点比较多，题目难度比较大．