题目内容
【题目】我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的一种图形的名称 ；
（2）如图 1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你直接写出所有以格点为顶点，OA、OB 为勾股边且有对角线相等的勾股四边形 OAMB 的顶点M 的坐标： ；
（3）如图 2，将△ABC 绕顶点 B 按顺时针方向旋转 60°，得到△DBE，连接 AD、DC，∠DCB=30°．求证： DC2 BC2 AC2 ，即四边形 ABCD 是勾股四边形；
（4）若将图 2 中△ABC 绕顶点 B 按顺时针方向旋转 a 度（0°＜a ＜90°），得到△DBE，连接 AD、DC，则当∠DCB= °时，四边形BECD 是勾股四边形．
【答案】（1）矩形（正方形）；（2）M（3，4）；M（4，3）；（3）详见解析；（4）
α.
【解析】
（1）根据勾股四边形的定义，可知正方形、矩形直角梯形都是勾股四边形；
（2）如图1中，以OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标为（3，4）或（4，3）；
（3）如图2，连接CE，只要证明△DCE是直角三角形即可解决问题．
（4）如图3，当∠DCB= α，四边形ABCD是勾股四边形．连接CE，根据△DCE是直角三角形求出∠DCB即可．
（1）矩形（正方形）
（2）M（3，4）；M（4，3）
（3）连接CE，∵△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，BC＝BE
∵∠CBE＝60°，∴△CBE是等边三角形，
∴BC＝BE，∠CBE＝60°，∵∠DCB＝30°
∴∠DCE＝90°，∴DC２＋EC２＝DE２
∴DC２＋BC２＝AC２，即四边形ABCD是勾股四边形.
（4）如图 3, 当 ∠DCB=α ，四边形 ABCD 是勾股四边形.
理由：连接 CE ，
由旋转得： △ABC ≌ △DBE ，
∴AC=DE ， BC=BE ，
又 ∵∠CBE=α ，
∴∠BCE=∠BEC=90°α ，
∴当∠DCB=α时，∠DCE=90° ，
∴DC2+EC2=DE2 .
∴ 即四边形BECD 是勾股四边形
故答案为：α.
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【题目】在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球20只，某学习小组做摸球实验．将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据
摸球的次数 | 100 | 150 | 200 | 500 | 800 | 1000 |
摸到白球的次数 | 58 | 96 | 116 | 295 | 484 | 601 |
摸到白球的频率 | 0.58 | 0.64 | 0.58 | 0.59 | 0.605 | 0.601 |
（1）请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.1）．
（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 ，摸到黑球的概率是 ．
（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．
