题目内容
已知:如图,AB是⊙O的直径,BC是弦,∠B=30°,延长BA到D,使∠BDC=30°.(1)求证:DC是⊙O的切线;
(2)若AB=2,求DC的长.
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【答案】分析:(1)根据切线的判定方法,只需证CD⊥OC.所以连接OC,证∠OCD=90°.
(2)易求半径OC的长.在Rt△OCD中,运用三角函数求CD.
解答:
(1)证明:连接OC.
∵OB=OC,∠B=30°,
∴∠OCB=∠B=30°.
∴∠COD=∠B+∠OCB=60°. (1分)
∵∠BDC=30°,
∴∠BDC+∠COD=90°,DC⊥OC. (2分)
∵BC是弦,
∴点C在⊙O上,
∴DC是⊙O的切线,点C是⊙O的切点. (3分)
(2)解:∵AB=2,
∴OC=OB=
=1. (4分)
∵在Rt△COD中,∠OCD=90°,∠D=30°,
∴DC=
OC=
. (5分)
点评:本题考查了切线的判定,证明经过圆上一点的直线是圆的切线,常作的辅助线是连接圆心和该点,证明直线和该半径垂直.
(2)易求半径OC的长.在Rt△OCD中,运用三角函数求CD.
解答:
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∵OB=OC,∠B=30°,
∴∠OCB=∠B=30°.
∴∠COD=∠B+∠OCB=60°. (1分)
∵∠BDC=30°,
∴∠BDC+∠COD=90°,DC⊥OC. (2分)
∵BC是弦,
∴点C在⊙O上,
∴DC是⊙O的切线,点C是⊙O的切点. (3分)
(2)解:∵AB=2,
∴OC=OB=
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∵在Rt△COD中,∠OCD=90°,∠D=30°,
∴DC=
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点评:本题考查了切线的判定,证明经过圆上一点的直线是圆的切线,常作的辅助线是连接圆心和该点,证明直线和该半径垂直.
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