Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连结CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S_△ABC ="5" S_△BDF，其中正确的结论序号是_____________．

Answer 1

①③.

解析试题分析：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC，AG⊥AB，∴AG∥BC，∴△AFG∽△CFB，
∴，∵BA=BC，∴，故①正确；∵∠ABC=90°，BG⊥CD∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，
∴∠DBE=∠BCD，∵AB=CB，点D是AB的中点，∴BD=AB=CB，∵tan∠BCD==，∴在Rt△ABG中，tan∠DBE==，∵，∴FG=FB，故②错误；∵△AFG∽△CFB，∴AF：CF=AG：BC=1：2，
∴AF=AC，∵AC=AB，∴AF=AB，故③正确；∵BD=AB，AF=AC，∴S_△ABC=6S_△BDF，故④错误．故答案为：①③．
考点：1.相似三角形的判定与性质；2. 勾股定理；3. 等腰直角三角形.