题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中的两个图形M与N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“和睦距离”，记作d（M，N）．若图形M，N有公共点，则d（M，N）＝0．
（1）如图，A（0，1），C（3，4），⊙C的半径为2，则d（C，⊙C）＝ ，d（O，⊙C）＝ ；
（2）已知，如图，△ABC的一边AC在x轴上，B在y轴上，且AC＝8，AB＝7，BC＝5．
①D是△ABC内一点，若AC、BC分别切⊙D于E、F，且d（C，D）＝2d（D，AB），判断AB与⊙D的位置关系，并求出D点的坐标；
②若以r为半径，①中的D为圆心的⊙D，有d（B，⊙D）＞1，d（C，⊙D）＜2，直接写出r的取值范围 ．
【答案】（1）2，3；（2）①AB是⊙O的切线，②
【解析】
（1）由图形M、M间的“和睦距离”的定义即可求解;
（2）①连接DF，DE，作DH⊥AB于H. 设OC＝x.先证明∠CBO＝30°，再证明DH=DE即可解决问题
②先求出点D的坐标，列出不等式组求解即可.
解：（1）∵A（0，1），C（3，4），⊙C的半径为2，
∴d（C，⊙C）＝2，d（O，⊙C）＝OC﹣2＝
﹣2＝3，
故答案为2，3．
（2）①连接DF，DE，作DH⊥AB于H．设OC＝x．
∵OB2＝BC2﹣OC2＝AB2﹣AO2，
∴52﹣x2＝72﹣（8﹣x）2，
解得x＝
，
∴BC＝2OC，
∴∠CBO＝30°，∠BCO＝60°，
∵CE，CF是⊙O的切线，
∴CD平分∠BCA，
∴∠DCE＝∠DCB＝30°，
∴DC＝2DE，
∵d（C，D）＝2d（D，AB），
∴CD＝2DH，
∴DH＝DE，
∴AB是⊙O的切线．
②由①可知OB＝
OC＝
，设DF＝DE＝DH＝x，
∵S△ABC＝
ACOC＝（AC+BC+AB）x，
∴x＝，
∴CE＝DE＝3，CD＝2DE＝2，
∴OE＝3﹣＝，
∴D（
，），∵B（0，），
∴BD＝
＝
，
由题意：
，
解得2﹣2＜r＜﹣1．
故答案为2﹣2＜r＜﹣1．
