题目内容

已知,如图,设∠MON=20°,A为OM上一点,OA=4
3
,D为ON上一点,OD=8
3
,C为A由任一点,B是OD上任意一点.求:折线ABCD的长度的最小值.
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分析:作A关于ON的对称点A′,连接A′B,作D关于OM的对称点D′,连接CD′,连接OA′、OD′、A′D′,由折线ABCD长=AB+BC+CD,而AB+BC+CD=A′B+BC+CD′≥A′D′,然后转化为求A′D′的长度,结合勾股定理及轴对称的性质即可解答.
解答:精英家教网解:作A关于ON的对称点A′,
连接A'B,作D关于OM的对称点D′,
连接CD′,连接OA′、OD′、A′D′(如图)
∴AB=A′B,CD=CD′,
由折线ABCD长=AB+BC+CD,而AB+BC+CD=A′B+BC+CD′≥A′D′,
∴折线ABCD长的最小值是线段A′D′的长,
∵∠NOA′=∠MON=20°,∠D′OM=∠MON=20°,
∴∠D′OA′=60°,
又∵OA′=OA=4
3
,OD′=OD=8
3

∴∠OA′D′=90°,
∴A'D'=
OD′2-OA′2
=
(8
3
)
2
-(4
3
)
2
=12

∴折线ABCD长度的最小值为12.
点评:本题考查轴对称的性质及最短路径问题,难度较大,关键是根据轴对称的性质将所求的线段和转化为一条线段上去.
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