题目内容

妙趣角:辅助线
问题探讨实录片段:
老师:等腰三角形的两个底角一定相等吗?
同学们异口同声:一定相等!
老师:谁能说说理由?[说着,在图(1)上用符号分别表示了已知“等腰”的条件和“底角为何相等”的疑问.]
小明:如图(2),如果作顶角平分线AD,那么可以根据“SAS”知道△ABD≌△ACD,得到∠B=∠C.
小华:如图(3),如果作底边上的中线,那么可以根据“SSS”,知道△ABD≌△ACD,得到∠B=∠C.
小芳:如图(4),如果作底边上的高,那么可以根据“HL”,知道△ABD≌△ACD,得到∠B=∠C.
老师:非常好!小明、小华和小芳所作的线段虽然名目各异,但是作用相同──都是通过构造一对全等三角形来说明∠B=∠C,所画的这条线段AD,可以称它为“辅助线”.
小强:“辅助线”,可谓名副其实.
老师:上面大家探讨得到:一个三角形中,如果知道两边相等,那么可得这两边的对角也相等,这可简述为“等边对等角”.
小霞:我想也应该有“等角对等边”[说着,画出了图(5),其中,AB、AC两边上的“”无疑也是在征求说理.]
不一会,争先恐后的几位同学在黑板上画出了如下带有“辅助线”的图形[图(6)、(7)、(8)]:

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老师期待的目光显然是在说:请你通过观察与思考,对上述3个图形作一评价…
图6中,已知∠B=∠C,∠BAC=∠CAD,根据AAS证明三角形全等,则AB=AC;
图7中,已知∠B=∠C,BD=DC,由于两条边一个角,该角不是夹角,所以此方法不能证AB=AC;
图8中,过点A作AD⊥BC,则根据直角三角形特有的证明全等的方法HL进行证明,AB=AC.
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