题目内容
课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题．
实验与论证
设旋转角∠A1A0B1=α（α＜∠A1A0B1），θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6所表示的角如图所示．
（1）用含α的式子表示：θ3=
（2）图1中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，直线A0H是否垂直平分线段A2B1？
答：
归纳与猜想
设正n边形A0A1A2…An-1与正n边形A0B1B2…Bn-1重合（其中，A1与B1重合），现将正n边形A0B1B2…Bn-1绕顶点A0逆时针旋转α（0°＜α＜
）．
（3）设θn与上述“θ3，θ4，…”的意义一样，请直接写出θn的度数．
实验与论证
设旋转角∠A1A0B1=α（α＜∠A1A0B1），θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6所表示的角如图所示．
（1）用含α的式子表示：θ3=
60°-α
60°-α
，θ4=α
α
，θ5=36°-α
36°-α
；θ6=α
α
，（2）图1中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，直线A0H是否垂直平分线段A2B1？
答：
是
是
；请说明你的理由；归纳与猜想
设正n边形A0A1A2…An-1与正n边形A0B1B2…Bn-1重合（其中，A1与B1重合），现将正n边形A0B1B2…Bn-1绕顶点A0逆时针旋转α（0°＜α＜
| 180° | n |
（3）设θn与上述“θ3，θ4，…”的意义一样，请直接写出θn的度数．
分析：（1）由正三角形的性质得α+θ3=60°，再由正方形的性质得θ4=45°-（45°-α）=α，最后由正五边形的性质得θ5=108°-36°-36°-α=36°-α；
（2）存在，如在图1中直线A0H垂直且平分的线段A2B1，由于△A0A1A2与△A0B1B2是全等的等边三角形，推得A2H=B1H，则点H在线段A2B1的垂直平分线上；由A0A2=A0B1，则点A0在线段A2B1的垂直平分线上，从而得出直线A0H垂直且平分的线段A2B1
（3）规律：当n为奇数时，θn=
-α；当n为偶数时，θn=α．
（2）存在，如在图1中直线A0H垂直且平分的线段A2B1，由于△A0A1A2与△A0B1B2是全等的等边三角形，推得A2H=B1H，则点H在线段A2B1的垂直平分线上；由A0A2=A0B1，则点A0在线段A2B1的垂直平分线上，从而得出直线A0H垂直且平分的线段A2B1
（3）规律：当n为奇数时，θn=
| 180° |
| n |
解答：
解：（1）60°-α，α，36°-α．α；
（2）是
图1中直线A0H垂直平分A2B1，证明如下：
证明：∵△A0A1A2与△B0B1B2是全等的等边三角形，
∴A0A2=A0B1，
∴∠A0A2B1=∠A0B1A2．
又∵△A0A1A2与△A0B1B2是等边三角形，
∴∠A0A2H=∠A0B1H=60°．
∴∠HA2B1=∠HB1A2．
∴A2H=B1H．
∴点H在线段A2B1的垂直平分线上．
又∵A0A2=A0B1，
∴点A0在线段A2B1的垂直平分线上．
∴直线A0H垂直平分A2B1．
（3）当n为奇数时，θn=
-α；
当n为偶数时，θn=α．
解：（1）60°-α，α，36°-α．α；（2）是
图1中直线A0H垂直平分A2B1，证明如下：
证明：∵△A0A1A2与△B0B1B2是全等的等边三角形，
∴A0A2=A0B1，
∴∠A0A2B1=∠A0B1A2．
又∵△A0A1A2与△A0B1B2是等边三角形，
∴∠A0A2H=∠A0B1H=60°．
∴∠HA2B1=∠HB1A2．
∴A2H=B1H．
∴点H在线段A2B1的垂直平分线上．
又∵A0A2=A0B1，
∴点A0在线段A2B1的垂直平分线上．
∴直线A0H垂直平分A2B1．
（3）当n为奇数时，θn=
| 180° |
| n |
当n为偶数时，θn=α．
点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
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