题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线与
轴交于点
,与
轴交于点
,以
为边在直线左下方作菱形
,且点
在
轴负半轴上,点
关于直线
的对称点为
,以
,
为邻边构造矩形
,
交
轴的正半轴于点
.
(1)求证:;
(2)当时,
①求的长,
②在菱形的边上取一点
,在矩形
的边上取一点
,若以
,
,
,
为顶点的四边形是平行四边形,求出所有满足条件的
点的坐标.
(3)连结,记
的面积为
,
的面积为
,若
,求
的值
【答案】(1)证明见解析;(2)①;②点
的坐标为
或
或
或
;(3)
.
【解析】
(1)根据矩形性质和轴对称性质可得,
;
(2)①求出OA,OB,由勾股定理求出OG,可得AG;②根据菱形性质,分4种情况当点与点
重合时,显然满足条件,此时
;当点
与点
重合时,显然满足条件,此时
;当点
在
上,
在
上时,直线
的解析式为
,直线
的解析式为
,设
,由
,可得P的坐标;当
在
上,
在
上时
由题意得:,求出
,结合
,求出PM,可得P的坐标;
(3)根据矩形性质和轴对称性质得,故
,记
为
,设
,则
,由
,可得
,求出
,可得
,由勾股定理可得,
,
,求出OB,得到B的坐标,再代入
,可得k.
(1)证明:四边形
是矩形
又由对称可得
∴
(2)解:当时,
,
,
①设,则
由勾股定理可得,
解得,
②如图,当点
与点
重合时,显然满足条件,此时
如图,当点
与点
重合时,显然满足条件,此时
如图,当点
在
上,
在
上时
点
,
,
,
直线
的解析式为
直线的解析式为
设
则,
解得
点坐标为
如图,当
在
上,
在
上时
由题意得:
将代入
得
即
点坐标为
综上所述,点的坐标为
或
或
或
(3)如图,四边形
是矩形,点
和点
关于直线
对称
,记
为
设
,则
由,可得
解得
由勾股定理可得,
,
代入
得

【题目】请阅读以下材料,并完成相应任务:
斐波那契(约1170-1250)是意大利数学家.1202年,撰写了《算盘书》一书,他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人,他还曾在埃及、叙利亚、希腊,以及意大利西西里和法国普罗旺斯等地研究数学.他研究了一列非常奇妙的数:0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144……这列数,被称为斐波那契数列.其特点是从第3项开始,每一项都等于前两项之和,斐波那契数列还有很多有趣的性质,在实际生活中也有广泛的应用.
任务:(1)填写下表并写出通过填表你发现的规律:
项 | 第2项 | 第3项 | 第4项 | 第5项 | 第6项 | 第7项 | 第8项 | 第9项 | … |
这一项的平方 | 1 | 1 | 4 | 9 | 25 | ________ | _______ | 441 | … |
这一项的前、后两项的积 | 0 | 2 | 3 | 10 | 24 | _______ | _______ | 442 | … |
规律:_____________;
(2)现有长为的铁丝,要截成
小段,每段的长度不小于
,如果其中任意三小段都不能拼成三角形,则
的最大值为___________________.