题目内容
【题目】如图,已知∠ABC=90°,D是直线AB上的点,AD=BC.
(1)如图1,过点A作AF⊥AB,并截取AF=BD,连接DC、DF、CF,判断△CDF的形状并证明;
(2)如图2,E是直线BC上一点,且CE=BD,直线AE、CD相交于点P,∠APD的度数是一个固定的值吗?若是,请求出它的度数;若不是,请说明理由.
【答案】(1)见解析;
(2)∠APD=∠FCD=45°.
【解析】
试题分析:(1)利用SAS证明△AFD和△BDC全等,再利用全等三角形的性质得出FD=DC,即可判断三角形的形状;
(2)作AF⊥AB于A,使AF=BD,连结DF,CF,利用SAS证明△AFD和△BDC全等,再利用全等三角形的性质得出FD=DC,∠FDC=90°,即可得出∠FCD=∠APD=45°.
试题解析:(1)△CDF是等腰直角三角形,理由如下:
∵AF⊥AD,∠ABC=90°,∴∠FAD=∠DBC,
在△FAD与△DBC中,,∴△FAD≌△DBC(SAS),
∴FD=DC,∴△CDF是等腰三角形,∵△FAD≌△DBC,∴∠FDA=∠DCB,
∵∠BDC+∠DCB=90°,∴∠BDC+∠FDA=90°,
∴△CDF是等腰直角三角形;
(2)作AF⊥AB于A,使AF=BD,连结DF,CF,如图,∵AF⊥AD,∠ABC=90°,
∴∠FAD=∠DBC,在△FAD与△DBC中,,∴△FAD≌△DBC(SAS),
∴FD=DC,∴△CDF是等腰三角形,∵△FAD≌△DBC,∴∠FDA=∠DCB,
∵∠BDC+∠DCB=90°,∴∠BDC+∠FDA=90°,∴△CDF是等腰直角三角形,
∴∠FCD=45°,∵AF∥CE,且AF=CE,∴四边形AFCE是平行四边形,
∴AE∥CF,∴∠APD=∠FCD=45°.