题目内容

如图(1),直线与x轴交于点A、与y轴交于点D,以AD为腰,以x轴为底作等腰梯形ABCD(AB>CD),且等腰梯形的面积是8,抛物线经过等腰梯形的四个顶点.

图(1)
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 如图(2)若点P为BC上的—个动点(与B、C不重合),以P为圆心,BP长为半径作圆,与轴的另一个交点为E,作EF⊥AD,垂足为F,请判断EF与⊙P的位置关系,并给以证明;

图(2)
(3) 在(2)的条件下,是否存在点P,使⊙P与y轴相切,如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
(1);(2)EF与⊙P相切.,证明见解析;(3) 存在, x=,P().

试题分析:(1)过C作CE⊥AB于E,利用矩形的性质分别求得三点的坐标,利用求得的点的坐标,用待定系数法求得二次函数的解析式即可;
(2)连结PE,可以得到:PE∥DA,从而得出EF与⊙P相切;
(3)设⊙P与y轴相切于点G,P作PQ⊥x轴于点Q,设Q(x,0),用含有x的代数式分别表示出PG和PB,再根据PG=PB求出x的值即可.
试题解析:(1) ∵,当x=0时, y=;当y=0时,x=-2,
∴A(-2,0),D
∵ABCD为等腰梯形,
∴AD=BC,∠OAD=∠OBC
过点C作CH⊥AB于点H,则AO=BH,OH=DC.

∵ABCD的面积是
∴8=
∴DC=2,
∴C(2, ),B(4,0),
设抛物线解析式为),代入A(-2,0),D,B(4,0)

解得

(2)连结PE,∵PE=PB,

∴∠PBE=∠PEB,
∵∠PBE=∠DAB,
∴∠DAB=∠PBE,
∴PE∥DA,
∵EF⊥AD,
∴∠FEP=∠AFF=90°,
又PE为半径,EF与⊙P相切.;
(3)设⊙P与y轴相切于点G,P作PQ⊥x轴于点Q,
设Q(x,0),则QB=4-x,

∵∠PBA=∠DAO,
∴∠PBA=∠DAO=60°,
∴PQ=, PB="8-2x" ,P(x, ),
∵⊙P与y轴相切于点G,⊙P过点B,
∴PG=PB,
∴x=8-2x,
∴x=,P().
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