Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于C（0，2），连接AC、BC．
（1）求抛物线解析式；
（2）BC的垂直平分线交抛物线于D、E两点，求直线DE的解析式．

Answer 1

（1）将A、B、C三点坐标代入可得：

a+b+c=1 16a+4b+c=0 c=2

，
解得：

a= 1 2 b=- 5 2 c=2

，
故这个抛物线的解析式为y=

1

2

x²-

5

2

x+2；

（2）解法一：
如图1，设BC的垂直平分线DE交BC于M，交x轴于N，连接CN，过点M作MF⊥x轴于F，
∴△BMF∽△BCO，
∴

MF

CO

=

BF

BO

=

BM

BC

=

1

2

．
∵B（4，0），C（0，2），
∴CO=2，BO=4，
∴MF=1，BF=2，
∴M（2，1），
∵MN是BC的垂直平分线，
∴CN=BN，
设ON=x，则CN=BN=4-x，
在Rt△OCN中，CN²=OC²+ON²，
∴（4-x）²=2²+x²，
解得：x=

3

2

，
∴N（

3

2

，0）．
设直线DE的解析式为y=kx+b，
依题意，得：

2k+b=1 3 2 k+b=0

，
解得：

k=2 b=-3

．
∴直线DE的解析式为y=2x-3．
解法二：
如图2，设BC的垂直平分线DE交BC于M，交x轴于N，连接CN，过点C作CF∥x轴交DE于F．
∵MN是BC的垂直平分线，
∴CN=BN，CM=BM．
设ON=x，则CN=BN=4-x，
在Rt△OCN中，CN²=OC²+ON²，
∴（4-x）²=2²+x²，
解得：x=

3

2

，
∴N（

3

2

，0）．
∴BN=4-

3

2

=

5

2

．
∵CF∥x轴，
∴∠CFM=∠BNM．
∵∠CMF=∠BMN，
∴△CMF≌△BMN．
∴CF=BN．
∴F（

5

2

，2）．
设直线DE的解析式为y=kx+b，
依题意，得：

5 2 k+b=2 3 2 k+b=0

，
解得：

k=2 b=-3

．
∴直线DE的解析式为y=2x-3．