Question

如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相关于点O，且AC=16，BD=12，E为AD的中点，点P在x轴正半轴上移动，若△POE为等腰三角形，则P的坐标是

 

．

Answer 1

考点：菱形的性质,坐标与图形性质,等腰三角形的判定

专题：

分析：由在菱形ABCD中，AC=12，BD=16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE的长，然后分别从①当OP=OE时，②当OE=PE时，③当OP=EP时去分析求解即可求得答案．

解答：解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=

1

2

AC=

1

2

×12=6，OD=

1

2

BD=

1

2

×16=8，
∴在Rt△AOD中，AD=

OA2+OD2

=10，
∵E为AD中点，
∴OE=

1

2

AD=

1

2

×10=5，
①当OP=OE时，P点坐标（-5，0）（舍）和（5，0）；
②当OE=PE时，此时点P与D点重合，即P点坐标为（8，0）；
③如图，

当OP=EP时，过点E作EK⊥BD于K，作OE的垂直平分线PF，交OE于点F，交x轴于点P，
∴EK∥OA，
∴EK：OA=ED：AD=1：2，
∴EK=

1

2

OA=3，
∴OK=

OE2-EK2

=4，
∵∠PFO=∠EKO=90°，∠POF=∠EOK，
∴△POF∽△EOK，
∴OP：OE=OF：OK，
即OP：5=

5

2

：4，
解得：OP=

25

8

，
∴P点坐标为（

25

8

，0）．
∴所有符合这个条件的P点坐标为：（5，0），（8，0），（

25

8

，0）．

点评：此题考查菱形的性质、三角形的中位线等知识点，渗透分类讨论思想．