Question

如图，AB是⊙O的直径，AM、BN是它的切线，E在⊙O上，OD∥BE交AM于D，DE交BN于C，F为CD中点，连OF交BE于T
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若TF=2，OT=3，求AB长．

Answer 1

考点：切线的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）证明：连结OE，由OD∥BE得到∠1=∠2，∠3=∠4，而∠1=∠3，则∠2=∠4，再根据切线的性质得到∠OAM=∠OBN=90°，然后根据”SAS”可判断△OAD≌△OED，得到∠OED=∠OAD=90°，于是根据切线的性质即可得到结论；
（2）作DH⊥BC与H，易得AB=DH，AD=BH，OF为梯形ABCD的中位线，则OF=

1

2

（AD+BC），则AD+BC=10，根据切线长定理DA=DE，CB=CE，所以DC=10，则DF=5，再证明∠5=∠6，∠ETF=∠6得到∠ETF=∠5，则得到FE=FT=2，然后计算出DE=3，BC=7，CH=4，再根据勾股定理计算出DH，即可得到AB的长．

解答：（1）证明：连结OE，如图，
∵OE=OB，
∴∠1=∠3，
∵OD∥BE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2=∠4，
∵AB是⊙O的直径，AM、BN是它的切线，
∴∠OAM=∠OBN=90°．
在△OAD和△OED中，

OA=OE ∠4=∠2 OD=OD

，
∴△OAD≌△OED（SAS），
∴∠OED=∠OAD=90°，
∴OE⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；

（2）解：作DH⊥BC与H，如图，
∵∠OAM=∠OBN=90°，
∴四边形ABHD为矩形，
∴AB=DH，AD=BH，
∵F为CD中点，O为AB的中点，
∴OF为梯形ABCD的中位线，
∴OF=

1

2

（AD+BC），
∴AD+BC=2（OT+TF）=2（3+2）=10，
∵DC与⊙O切于E点，
∴DA=DE，CB=CE，
∴DC=DE+CE=AD+BC=10，
∴DF=5，
∵CB=CE，
∴∠5=∠6，
∵TF∥BC，
∴∠ETF=∠6，
∴∠ETF=∠5，
∴FE=FT=2，
∴DE=DA=DF-EF=5-2=3，
∴BC=10-3=7，
∴CH=BC-BH=7-3=4，
在Rt△DHC中，DH=

DC2-CH2

=

102-42

=2

21

，
∴AB=2

21

．

点评：本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理、梯形的中位线性质以及勾股定理．