Question

如图，抛物线y=－x²+x－2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，分别过点B，C作y轴，x轴的平行线，两平行线交于点D，将△BDC绕点C逆时针旋转，使点D旋转到y轴上得到△FEC，连接BF．
（1）求点B，C所在直线的函数解析式；
（2）求△BCF的面积；
（3）在线段BC上是否存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）直线BC的解析式为y=x﹣3；
（2）△BCF的面积为10；
（3）在线段BC上存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形与△BOC相似， P点坐标为（2，﹣1）或（，﹣）．

试题分析：（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得点B，C的坐标，再根据待定系数法可得点B，C所在直线的函数解析式；
（2）根据勾股定理可得BC的长，根据旋转的性质和三角形面积公式即可求解；
（3）存在．分两种情况讨论：①过A作AP₁⊥x轴交线段BC于点P₁，则△BAP₁∽△BOC；②过A作AP₂⊥BC，垂足点P₂，过点P₂作P₂Q⊥x轴于点Q．则△BAP₂∽△BCO；依此讨论即可求解．
试题解析：（1）当y=0时，﹣x²+x﹣2=0，
解得x₁=2，x₂=4，
∴点A，B的坐标分别为（2，0），（4，0），
当x=0时，y=﹣2，
∴C点的坐标分别为（0，﹣2），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，
解得．
∴直线BC的解析式为y=x﹣3；
（2）∵CD∥x轴，BD∥y轴，
∴∠ECD=90°，
∵点B，C的坐标分别为（4，0），（0，﹣2），
∴BC==2，
∵△FEC是由△BDC绕点C逆时针旋转得到，
∴△BCF的面积=BC•FC=×2×2=10；
（3）存在．分两种情况讨论：
①过A作AP₁⊥x轴交线段BC于点P₁，则△BAP₁∽△BOC，
∵点A的坐标为（2，0），
∴点P₁的横坐标是2，
∵点P₁在点BC所在直线上，
∴y=x﹣2=×2﹣2=﹣1，
∴点P₁的坐标为（2，﹣1）；
②过A作AP₂⊥BC，垂足点P₂，过点P₂作P₂Q⊥x轴于点Q．

∴△BAP₂∽△BCO，
∴,
∴，
解得AP₂=，
∵，
∴AP₂•BP=CO•BP₂，
∴×4=2BP₂，
解得BP₂=，
∵AB•QP₂=AP₂•BP₂，
∴2QP₂=×，
解得QP₂=，
∴点P₂的纵坐标是﹣，
∵点P₂在BC所在直线上，
∴x=，
∴点P₂的坐标为（，﹣），
∴满足条件的P点坐标为（2，﹣1）或（，﹣）．