题目内容
【题目】已知,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=3,BC=10,AD=5,M是BC边上的任意一点,联结DM,联结AM.
(1)若AM平分∠BMD,求BM的长;
(2)过点A作AE⊥DM,交DM所在直线于点E.
①设BM=x,AE=y求y关于x的函数关系式;
②联结BE,当△ABE是以AE为腰的等腰三角形时,请直接写出BM的长.
【答案】(1)1或9;(2)①y=.②1或9或4.
【解析】
(1)考虑∠DMB为锐角和钝角两种情况即可解答;
(2) ①作MH⊥AD于H,根据勾股定理,用被开方式含x的二次根式表示DM,根据△ADM面积的两种算法建立等式,即可求出y关于x的函数关系式;②分AB=AE和EA=EB两种情况讨论求解.
解:(1)如图1中,作DH⊥BC于H.则四边形ABHD是矩形,AD=BH=5,AB=DH=3.
当MA平分∠DMB时,易证∠AMB=∠AMD=∠DAM,可得DA=DM=5,
在Rt△DMH中,DM=AD=5,DH=3,
∴MH===4,
∴BM=BH-MH=1,
当AM′平分∠BM′D时,同法可证:DA=DM′,HM′=4,
∴BM′=BH+HM′=9.
综上所述,满足条件的BM的值为1或9.
(2)①如图2中,作MH⊥AD于H.
在Rt△DMH中,DM==,
∵S△ADM=ADMH=DMAE,
∴5×3=y
∴y=.
②如图3中,当AB=AE时,y=3,此时5×3=3,
解得x=1或9.
如图4中,当EA=EB时,DE=EM,
∵AE⊥DM,
∴DA=AM=5,
在Rt△ABM中,BM==4.
综上所述,满足条件的BM的值为1或9或4.
故答案为:(1)1或9;(2)①y=.②1或9或4.
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